01_유한체

1. p는 무슨 뜻?

Q. 유한체에서 “p로 나눈다”고 할 때 p는 뭘 의미해?
A. p는 ‘prime’, 즉 소수(prime number) 를 의미하는 기호로 쓰인다. 유한체에서 자주 등장하는 p는 대부분 “소수인 법(mod) 값”이다.

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2. 소수(prime)와 소수점(decimal)

Q. 프라임 넘버가 소수라는데, 소수점이 있는 그 소수야?
A. 아니다.

• 소수(prime): 1과 자기 자신으로만 나누어 떨어지는 자연수 (예: 2, 3, 5, 7, 11, …).
• 소수점 decimal: 3.14 같은 실수 표기. 전혀 다른 개념이다.

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3. 왜 p=7은 소수인데 p=6은 안 돼?

Q. 7은 소수라고 하는데, 6일 때는 왜 안 돼? p=6도 있을 수 있는 거 아닌가?
A.

• 7: 1과 7로만 나누어떨어진다 → 소수.
• 6: 1, 2, 3, 6으로 나누어떨어진다 → 소수가 아님.

유한체(특히 p개의 원소를 가진 체)는 p가 소수일 때만 잘 동작한다.
p가 소수여야만:

• 0이 아닌 모든 원소에 대해 곱셈 역원이 존재하고
• 덧셈·곱셈에 대해 체(Field)의 성질(역원, 항등원 등)을 만족한다.

p=6처럼 소수가 아니면, 곱셈에 대한 역원이 없는 원소들이 생겨서 “체”가 되지 못한다. (예: mod 6 에서는 2·3=0 이라서 문제들이 생김)

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4. 모듈러 연산(나머지 연산)의 감각

Q. 모듈러 연산은 어떻게 이해하면 돼?
A.

• 어떤 수를 p로 나눴을 때 “나머지”만 남기는 연산이다.
• 기호로는 a % p 또는 a mod p.

예시:

• p=5일 때, 3 % 5 = 3 (5보다 작아서 더 나눌 수 없으므로 나머지 3)
• 12 % 5 = 2 (12 = 5×2 + 2)

유한체 GF(p)에서는 원소들이 {0, 1, 2, …, p-1}이고,
덧셈·곱셈은 항상 이런 식으로 계산 후 p로 나머지를 취한다.

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5. 유한체에서의 예시 연산

Q. p=7인 유한체에서는 구체적으로 어떻게 계산해?
A. 원소 집합: {0,1,2,3,4,5,6} 이고, 모든 연산은 % 7로 한다.

• 덧셈 예:
  • (4 + 5) % 7 = 9 % 7 = 2
• 곱셈 예:
  • (4 × 5) % 7 = 20 % 7 = 6

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6. 항등원과 역원(감각 위주로)

Q. 항등원, 역원은 느낌만 기억하면 어떻게?
A.

• 항등원(identity): “연산해도 값이 안 변하게 해 주는 원소”

  • 덧셈의 항등원: 0 (a+0 = a)
  • 곱셈의 항등원: 1 (a×1 = a)

• 역원(inverse): “연산했을 때 항등원이 되게 해 주는 원소”

  • 덧셈의 역원: a의 역원은 -a (a+(-a)=0)
  • 곱셈의 역원: a의 역원은 a⁻¹ (a×a⁻¹ = 1)

유한체 GF(p)에서는 0을 제외한 모든 원소가 곱셈 역원을 가진다.
예: p=7일 때

• 3의 곱셈 역원은 5 (3×5 % 7 = 15 % 7 = 1)

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7. 유한체의 정리 포인트

Q. 유한체를 감으로만 정리하면?
A.

• 유한체는 “원소 개수가 유한한 체(Field)”다.
• 가장 기본적인 예는 소수 p에 대한 완전 나머지계 {0,1,…,p-1}.
• 연산은 전부 mod p로 하고,
  • 덧셈·곱셈이 체의 성질(결합법칙, 교환법칙, 분배법칙, 항등원·역원 존재)을 모두 만족한다.
• 그래서 암호학(비트코인 타원곡선 포함) 같은 데서 많이 쓰인다.